Examen 3ra Unidad.

Evelyn Perez Contreras 

Número de lista 8. 

Ejercicio 4

Ejercicio 3

Puntos notables en un Triángulo

Puntos notables de un Triangulo

Circuncentro

Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A, B y C .

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.

El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 1:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:

"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 1:

1.       Con ayuda de una regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

3.       Dibuja dos de sus mediatrices (las que tú quieras).

4.       Señala el punto de intersección de ambas.

5.       Traza la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al vértice A.

6.       Comprueba que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C.

7.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.

8.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.

9.       Comprueba que se ha verificado la propiedad 11 en cada uno de los triángulos que has dibujado.

Incentro

Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB, BC y CA.

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.

El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 2:

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"

Ejercicio 2:

1.       Con ayuda de una regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

3.       Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras).

4.       Señala el punto de intersección de ambas.

5.       Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB.

6.       Comprueba que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos lados.

7.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.

8.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.

9.       En cada uno de los triángulos que has dibujado, comprueba que el incentro está siempre en el interior del triángulo.

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.

Propiedad 3:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista del anterior, se observa que:

GA = 2GA'	(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB'	(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC'	(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )

Ejercicio 3:

1.       Con ayuda de regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo cualquiera.

3.       Traza geométricamente dos de las medianas.

4.       Señala el punto donde se han cortado ¿cómo se llama ese punto?.

5.       Traza la tercera mediana y comprueba que pasa por dicho punto.

6.       Con el compás:

7.       Toma la medida del baricentro al punto medio del lado AB.

8.       Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la mediana, DOS veces desde el baricentro hasta el vértice C.

9.       Repite el apartado anterior con las otras dos medianas.

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A, B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A’B’, respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.

La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C, o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.

Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:

Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.

Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.

Propiedad 4:

"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 4:

1.      Con ayuda de una regla y compás::

2.      Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera ABC.

3.      Dibuja dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la altura.

4.      Señala el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto?

5.      ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?

6.      Con ayuda de una regla y compás:

7.      Dibuja un triángulo obtusángulo cualquiera ABC.

8.      Dibuja otro triángulo A'B'C' que tenga los vértices A, B, y C, como puntos medios de sus lados.

9.      Calcula dos mediatrices del triángulo A'B'C', tal y como se explicó en la construcción geométrica de la mediatriz.

10.  Señala el punto de intersección de ambas mediatrices. ¿cómo se llama dicho con respecto al triángulo ABC?

11.  ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?

Propiedad 5:

1.      El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.

2.      El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.

3.      La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.

Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA 

Ejercicio 5:

1.       Con ayuda de regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

3.       Traza geométricamente el Ortocentro, Baricentro y circuncentro.

4.       Dibuja la Recta de Euler.

5.       Con el compás:

6.       Toma la medida del baricentro al circuncentro.

7.       Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la recta de Euler, DOS veces desde el baricentro hasta el ortocentro.

8.       Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo rectángulo.

9.       Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo obtusángulo.

Geométria

Propiedades de las figuras Geométricas

Propiedades de las figuras Geométricas

Las figuras geométricas componen todo lo que está alrededor de nosotros. Pueden ser bidimensionales, como la pantalla de tu computadora, y tridimensionales, como una pelota. Cada figura geométrica tiene sus propiedades que la hacen diferente de otras figuras. Sin embargo, las figuras geométricas pueden compartir propiedades con otras, lo que requiere describirlas más detalladamente para distinguirlas de otras figuras.

Lados

El número de lados que tiene una figura puede ayudar a determinar qué tipo de figura geométrica es. Todas las figuras bidimensionales hechas con líneas rectas se consideran polígonos. Por ejemplo, un triángulo es una figura bidimensional que tiene tres lados. Los lados por sí solos no identifican la figura. Hay muchas figuras que tienen cuatro lados, como los cuadrados, rectángulos, rombos, trapezoides y muchas otras. Sin embargo, todas las figuras con cuatro lados se consideran cuadriláteros. Algunas figuras no tienen esquinas y por lo tanto no tienen lados distinguibles. Los círculos y los óvalos son ejemplos de figuras geométricas que no tienen lados distinguibles.

Ángulos

Las figuras que tienen esquinas, también llamadas vértices, crean ángulos que pueden medirse. Los ángulos están presentes tanto en las figuras bidimensionales como en las tridimensionales. Un ángulo puede medirse usando un transportador. Un ángulo puede ser agudo, lo que significa que mide menos de 90 grados, recto, que quiere decir que es de exactamente 90 grados, u obtuso, lo que significa que es mayor a 90 grados.

Regulares e irregulares

Las figuras bidimensionales pueden clasificarse en regulares e irregulares. Los polígonos regulares son polígonos cuyos lados y ángulos interiores son congruentes, es decir, iguales. Un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales en longitud y todos los ángulos interiores son de 60 grados, lo que lo hace un triángulo regular. No todas las figuras pueden ser regulares. Un rectángulo, por ejemplo, por definición tiene dos lados que son iguales en longitud. Un lado es más largo que el otro. Esto hace que el rectángulo sea una figura irregular.

Figuras tridimensionales

La geometría no se limita a las figuras bidimensionales. También incluye las figuras tridimensionales, llamadas también figuras sólidas. Estas figuras tienen un valor adicional de profundidad que no tienen las figuras bidimensionales. Las figuras tridimensionales se construyen con figuras bidimensionales. Por ejemplo, un cubo es una figura tridimensional que se construye con seis cuadrados ordenados en la forma de una caja. Otras figuras son una combinación de varias figuras geométricas. Un prisma es una combinación de rectángulos y triángulos.

Bases

Las figuras tridimensionales tienen bases. La base es la cara de la figura que descansa sobre un plano. Por ejemplo, una pirámide tiene una base cuadrada. Un cilindro tiene una base circular. En algunos casos, la base es igual al resto de las caras, como en el caso de un cubo. Una esfera, que se ve como una pelota, no tiene una base. Una esfera se describe como una figura en la que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

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