Puntos notables en un Triángulo

Puntos notables de un Triangulo

Circuncentro

Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A, B y C .

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.

El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 1:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:

"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 1:

1.       Con ayuda de una regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

3.       Dibuja dos de sus mediatrices (las que tú quieras).

4.       Señala el punto de intersección de ambas.

5.       Traza la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al vértice A.

6.       Comprueba que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C.

7.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.

8.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.

9.       Comprueba que se ha verificado la propiedad 11 en cada uno de los triángulos que has dibujado.

Incentro

Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB, BC y CA.

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.

El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 2:

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"

Ejercicio 2:

1.       Con ayuda de una regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

3.       Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras).

4.       Señala el punto de intersección de ambas.

5.       Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB.

6.       Comprueba que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos lados.

7.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.

8.       Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.

9.       En cada uno de los triángulos que has dibujado, comprueba que el incentro está siempre en el interior del triángulo.

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.

Propiedad 3:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista del anterior, se observa que:

GA = 2GA'	(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB'	(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC'	(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )

Ejercicio 3:

1.       Con ayuda de regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo cualquiera.

3.       Traza geométricamente dos de las medianas.

4.       Señala el punto donde se han cortado ¿cómo se llama ese punto?.

5.       Traza la tercera mediana y comprueba que pasa por dicho punto.

6.       Con el compás:

7.       Toma la medida del baricentro al punto medio del lado AB.

8.       Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la mediana, DOS veces desde el baricentro hasta el vértice C.

9.       Repite el apartado anterior con las otras dos medianas.

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A, B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A’B’, respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.

La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C, o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.

Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:

Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.

Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.

Propiedad 4:

"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 4:

1.      Con ayuda de una regla y compás::

2.      Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera ABC.

3.      Dibuja dos de sus alturas, tal y como se explicó en la construcción geométrica de la altura.

4.      Señala el punto de intersección de ambas. ¿cómo se llama dicho punto?

5.      ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?

6.      Con ayuda de una regla y compás:

7.      Dibuja un triángulo obtusángulo cualquiera ABC.

8.      Dibuja otro triángulo A'B'C' que tenga los vértices A, B, y C, como puntos medios de sus lados.

9.      Calcula dos mediatrices del triángulo A'B'C', tal y como se explicó en la construcción geométrica de la mediatriz.

10.  Señala el punto de intersección de ambas mediatrices. ¿cómo se llama dicho con respecto al triángulo ABC?

11.  ¿El ortocentro está dentro o fuera del triángulo?

Propiedad 5:

1.      El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.

2.      El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.

3.      La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.

Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA 

Ejercicio 5:

1.       Con ayuda de regla y compás:

2.       Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

3.       Traza geométricamente el Ortocentro, Baricentro y circuncentro.

4.       Dibuja la Recta de Euler.

5.       Con el compás:

6.       Toma la medida del baricentro al circuncentro.

7.       Comprueba que puedes llevar esta medida, sobre la recta de Euler, DOS veces desde el baricentro hasta el ortocentro.

8.       Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo rectángulo.

9.       Repite los apartados 1 y 2 con un triángulo obtusángulo.

Geométria

Propiedades de las figuras Geométricas

Propiedades de las figuras Geométricas

Las figuras geométricas componen todo lo que está alrededor de nosotros. Pueden ser bidimensionales, como la pantalla de tu computadora, y tridimensionales, como una pelota. Cada figura geométrica tiene sus propiedades que la hacen diferente de otras figuras. Sin embargo, las figuras geométricas pueden compartir propiedades con otras, lo que requiere describirlas más detalladamente para distinguirlas de otras figuras.

Lados

El número de lados que tiene una figura puede ayudar a determinar qué tipo de figura geométrica es. Todas las figuras bidimensionales hechas con líneas rectas se consideran polígonos. Por ejemplo, un triángulo es una figura bidimensional que tiene tres lados. Los lados por sí solos no identifican la figura. Hay muchas figuras que tienen cuatro lados, como los cuadrados, rectángulos, rombos, trapezoides y muchas otras. Sin embargo, todas las figuras con cuatro lados se consideran cuadriláteros. Algunas figuras no tienen esquinas y por lo tanto no tienen lados distinguibles. Los círculos y los óvalos son ejemplos de figuras geométricas que no tienen lados distinguibles.

Ángulos

Las figuras que tienen esquinas, también llamadas vértices, crean ángulos que pueden medirse. Los ángulos están presentes tanto en las figuras bidimensionales como en las tridimensionales. Un ángulo puede medirse usando un transportador. Un ángulo puede ser agudo, lo que significa que mide menos de 90 grados, recto, que quiere decir que es de exactamente 90 grados, u obtuso, lo que significa que es mayor a 90 grados.

Regulares e irregulares

Las figuras bidimensionales pueden clasificarse en regulares e irregulares. Los polígonos regulares son polígonos cuyos lados y ángulos interiores son congruentes, es decir, iguales. Un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales en longitud y todos los ángulos interiores son de 60 grados, lo que lo hace un triángulo regular. No todas las figuras pueden ser regulares. Un rectángulo, por ejemplo, por definición tiene dos lados que son iguales en longitud. Un lado es más largo que el otro. Esto hace que el rectángulo sea una figura irregular.

Figuras tridimensionales

La geometría no se limita a las figuras bidimensionales. También incluye las figuras tridimensionales, llamadas también figuras sólidas. Estas figuras tienen un valor adicional de profundidad que no tienen las figuras bidimensionales. Las figuras tridimensionales se construyen con figuras bidimensionales. Por ejemplo, un cubo es una figura tridimensional que se construye con seis cuadrados ordenados en la forma de una caja. Otras figuras son una combinación de varias figuras geométricas. Un prisma es una combinación de rectángulos y triángulos.

Bases

Las figuras tridimensionales tienen bases. La base es la cara de la figura que descansa sobre un plano. Por ejemplo, una pirámide tiene una base cuadrada. Un cilindro tiene una base circular. En algunos casos, la base es igual al resto de las caras, como en el caso de un cubo. Una esfera, que se ve como una pelota, no tiene una base. Una esfera se describe como una figura en la que todos los puntos están a la misma distancia del centro.

Rectàngulo Àureo en autoCAD

Rectangulo Àureo

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea, es decir, ϕ = 1.618033, es llamado un rectángulo áureo también conocido como número de oro o regla dorada. La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (III), en la “División de un segmento en media y extrema razón”. La idea es la siguiente: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas.

Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocido por todo el mundo por la secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}. Esta secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números y el número siguiente se obtiene como la suma de los dos números anteriores.

La secuencia formada a partir de la relación entre los números adyacentes de la secuencia de Fibonacci converge a un valor constante de 1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es  Φ.

Este es un rectángulo muy especial, ya que los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron frecuentemente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados y les parece “atractivo” y hasta “armonioso”.

Estos rectángulos son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y mística en este asunto matemático.

La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectivamente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.

Inconsciente o conscientemente se diseñan infinidad de cosas  y artículos que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: vajillas, cuatros, fotografías, construcciones e incluso hasta tatuajes. Científicamente no es posible confirmar si es verdad que este rectángulo cause en nosotros un efecto para que podamos considerar “bellas” ciertas cosas.

Se dice que tal vez lo anterior se deba a que encontramos el rectángulo áureo en diversas partes de la naturaleza. Lo podemos ver en caracolas, galaxias, células, plantas, en el cuerpo humano y en muchos ejemplos más relacionados con la creación de la naturaleza. También se percibe como el número de la belleza y la armonía, ya que ha sido empleado en las obras más espectaculares realizadas por la humanidad, desde las pirámides hasta cuadros, murales, catedrales o en la música.

En mi opinión, el que el rectángulo áureo parezca causar “armonía” y que todos los objetos diseñados por ese principio sean “bellos”, me parece muy subjetivo. Según los filósofos Griegos y Romanos, el secreto de la belleza se esconde en la simetría y en una proporción "perfecta" que siguen los seres vivos y que provoca que resulten bellos y estéticamente atractivos. Pero para mí la belleza es subjetiva, lo que causa que cada quién pueda percibir diferentes cosas y tener distintas opiniones sobre si algo es carente o no de belleza. ¿En qué me baso para decir esto?, para empezar hay que definir que es belleza. La belleza está asociada a la hermosura. Se trata de una apreciación subjetiva: lo que es bello para una persona, puede no serlo para otra. Una persona puede ver alguna fotografía basada en la razón de oro e inconscientemente pensar que es bella y gustarle y simplemente otra puede pensar que es una simple fotografía sin nada especial.

Pero como ahora desde que fue descubierto y difundido el rectángulo áureo y sus “efectos”, se ha comercializado en gran medida por muchos lados y por las más grandes compañías del mundo, con el fin de que sus logos “atraigan” a más personas a consumir sus productos. Esto ha causado que la mayoría de las personas se sugestionen a tal punto que creen que todo lo que ven en relación a esta razón, es armonioso o bello.

Apple es una de las pocas empresas que no usa el nombre de la compañía en su logo. Sin embargo, el logo de Apple es uno de los más reconocidos símbolos en el mundo. El logo se dice está perfectamente balanceado, y las líneas que trazan el logo son círculos con diámetros proporcionales a la serie de Fibonacci. Y si Apple es una marca muy conocida, pienso que es por la calidad de sus productos y la versatilidad de los mismos. Si causara armonía en nosotros, la mayoría de las personas tendríamos uno sin importar el costo, simplemente por el efecto que causaría. Sin embargo, utilizamos tecnología de otras marcas.

Existe un video en internet llamado “Las proporciones de la belleza”, en el cual se relata cuáles son las medidas que debe tener un rostro para que pueda ser considerado como “bello”. Por medio de la razón de oro se construye una máscara con ciertas proporciones, que colocada sobre algunas fotografías de famosos estadounidenses, se determina si es atractivo. Uno de los resultados que arrojó este experimento es que Tom Cruise, encaja perfectamente en esta máscara de “perfección”, pero como mencione un poco más arriba en este ensayo, la belleza es subjetiva. Pregunte a tres personas si les parecía atractivo y solamente dos me contestaron que sí, por lo parece que lo que es establecido “bello” o “atractivo” solo lo es para algunas personas.

En la naturaleza se afirma que podemos ver el rectángulo áureo en la concha de los caracoles, pero tiene esa forma porque simplemente es así crecimiento. A medida que el nautilo crece, el extremo abierto de su caparazón aumenta de diámetro a una velocidad casi constante. Está forzado a curvarse alrededor del caparazón existente.

No es difícil encontrar que una de estas curvas que se trazan en el rectángulo áureo se ajusta a algún objeto particular en la naturaleza. Sin embargo, cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros e incluso en internet, suelen tener variaciones considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad, por alguna otra espiral que se le añade. Un ejemplo claro de ello es el caparazón del nautilus.

Otro ejemplo muy famoso es que la proporción de oro tiene que ver los las flores de girasol. Las semillas en el girasol es un ejemplo de la observación que el botánico William Hofmeister hizo en 1868: los primordios (parte de la flor de se forman preferentemente donde haya mayor espacio disponible para ellos. También se deben formar donde queden unidos de manera eficiente al resto de la planta, y esta es la consideración geométrica. El patrón también puede ser modificado por la humedad y los nutrientes, que afectan el tamaño de las semillas en formación. El patrón rara vez sale perfectamente adaptado a la proporción áurea. Sólo las veces que se aproxima, son las que se van a ser fotografiados para los artículos sobre los  números de Fibonacci.

Otro ejemplo del que se habla en donde también podemos observar la razón aurea en la cola de un pavorreal. Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral. ¿Son éstas espirales doradas o corresponden a algún otro tipo de espiral? La ecuación matemática exacta de la espiral depende de cuán lejos el pájaro decida desplegar su cola. Lo cual nos indica que no siempre podremos apreciar que se forman espirales relacionados con la razón áurea.

No es muy difícil encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o relación matemática que se desee. Por eso, algunas personas cometen el error de suponer que esto revela un principio  que rige la naturaleza y como esta va a ser.

Como mencione al inicio de mi ensayo, los griegos utilizaban este rectángulo en muchas de sus construcciones, ya que lo consideraban algo especial. No fue de esperarse que esto inspirará a grandes escultores y pintores de la antigüedad y hayan adoptado esta proporción como modelo de armonía y de belleza.

Artistas y matemáticos como Lucca Pacioli, Leonardo Da Vinci o como Alberto Durero designaron a este número con nombres tan expresivos como sección áureo, razón áurea o divina proporción. Desde el Renacimiento, muchos pintores han utilizado en sus obras maestras con dimensiones relacionadas con la razón áurea.

Leonardo Da Vinci fue pintor, anatomista, arquitecto, paleontólogo, artista, botánico, científico, escritor, escultor, filósofo, ingeniero, inventor, músico, poeta y urbanista.

Da Vinci tenía la idea de que las formas de la naturaleza, incluyendo las especies animales, contenían la justa proporción de la belleza. Para Leonardo, la belleza era el efecto visual de proporciones armoniosas.

En muchas obras Da Vinci, representó la belleza de la proporción áurea sobre el cuerpo humano. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en el “Hombre de Vitruvio”. Sirvió para ilustrar el libro “La Divina Proporción” de Luca Pacioli. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

Leonardo da Vinci realiza una visión del hombre como centro del Universo al quedar plasmado en un círculo y un cuadrado. En él se realiza un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano: el ideal de belleza. También Da Vinci utilizó esta razón para pintar su tan famosa pintura “La Mona Lisa”.

Alberto Durero, aprovechó la “armonía” y “belleza” que desprende del número áureo en la composición de muchas obras, para representar a Adán y Eva.

Vincent Van Gogh percibió en los últimos momentos de su vida, la presencia obsesiva de estas espirales de áurea en toda la naturaleza, y las ilustró en el cielo de su famoso cuadro “La Noche estrellada”, y en su famoso Autorretrato de mirada penetrante y enloquecida. Los torbellinos espirales aparecen en la mayoría de sus obras durante su último días en el manicomio de Saint-Rémy, el último año antes de su suicidio. Se dice que Gogh había descubierto el secreto  de la naturaleza para crear la belleza.

Todos los personajes anteriormente mencionados se tratan de pintores que han sido reconocidos por sus grandes y magnificas obras de arte realizadas, pero como todas las cosas en el mundo el arte es uno de los temas más subjetivos. Hay quienes les gusta el arte de un determinado pintor, pero al igual habrá gente que no le guste su obra.

Principalmente se conocen las obras y se hacen famosas, por la historia que hay detrás de ellas. Por ejemplo, las pinturas de Da Vinci se caracterizan por ser pinturas repletas de “misterio”. Se decía que él dejaba en todas sus pinturas algún mensaje o imagen oculta, además de que eran reconocidas sus obras  por la técnica de pintura y el material utilizado.

¿Quién no conoce a Vincent Van Gogh?, el artista que se cortó una oreja y cuyas obras de arte son realmente interesantes.

Muy a pesar de que han pasado muchísimos años desde que fue descubierto el rectángulo áureo y su relación con la armonía y en la belleza, hay quienes en la actualidad (muy por aparte de los logos de las compañías) las utilizan para llevar a cabo su trabajo.

Si miramos a nuestro alrededor hay muchos ejemplos, en arquitectura, en el diseño o la fotografía.

La arquitectura contemporánea sigue utilizando la proporción aurea en diferentes estructuras. En los años 40s se desarrolló un sistema de proporciones llamado Modulor en el que la proporción de alturas estaba basada en la proporción aurea.

En la arquitectura la proporción aurea encuentra variadas e imaginativas aplicaciones, como  el caso del círculo áureo, círculo dividido en dos secciones por dos radios, en el cual el cociente de la división del ángulo mayor entre el menor es igual al número de oro.

La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de tamaños proporcionales en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente “atractivo” y se mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.

Un ejemplo del uso de la proporción áurea contemporánea es La Casa de la Moneda China, en Santa Cruz de la Sierra, Bolivia. Cuyo autor es Juan Carlos Menacho Durán, tanto los radios de las circunferencias como las medidas de los rectángulos, reflejan la proporción áurea.

También, los inversionistas a menudo buscan el "santo grial", un método matemático para predecir el mercado de valores y algunos analistas del mercado de valores utilizan la serie de Fibonacci para orientar sus inversiones.

E incluso otro ejemplo actual en el cual se encuentra el rectángulo áureo, es en las tarjetas de crédito.

Hay quienes concuerdan en que el rectángulo áureo y su supuesta relación que tiene con la “belleza” y la “armonía” es falso, se trata del libro “Misconceptions about the Golden ratio” de George Markowsky.

Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en las caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Pero desde mi punto de vista es un tema que se trata en un 100% de subjetividad.

Finalmente quiero terminar con la siguiente cita: “Ciertamente, la afirmación frecuentemente repetida de que el Partenón de Atenas está basado en la proporción áurea no es compatible con las mediciones reales. De hecho, toda la historia de los griegos y la razón de oro parece algo sin fundamento. Lo único que sabemos con certeza es que Euclides en su famoso libro de texto (escrito alrededor del 300ac) Elementos, muestra cómo calcular su valor”

Keith Devlin. Matemático.